Задачи на геометрическую прогрессию в советских учебниках

Рассмотрим задачи из учебника А.П. Киселева

Учебник 1931г. А.П. Киселев

1045. Заметили, что население одного города увеличивается с каждым годом в одном и том же отношении. Как велико это отношение, если за 3 года население увеличилось с 10000 до 14641 человека?

Решение:

Пусть x - знаменатель геометрической прогрессии.

Первый член - 10000, а четвертый - 14641.

14641 = 10000 * x⁴

x=1,1

Ответ: отношение равно 1,1

1051. Доказать, что во всякой Г.П. сумма членов 4-го, 5-го и 6-го есть среднее геометрическое число между суммою 1-го, 2-го и 3-го членов и суммою 7-го, 8-го и 9-го членов.

Решение:

Рассмотрим геометрическую прогрессию: b₁ . b₂ . b₃ . b₄ . b₅ . b₆ . b₇ . b₈ . b₉….

b₄ + b₅ + b₆= b₁(q³ + q⁴ +q⁵)= b₁·q³·(1 + q +q²)

b₁ + b₂ + b₃= b₁(1 + q +q²)

b₇ + b₈ + b₉= b₁(q⁶ + q⁷ +q⁸) = b₁·q⁶·(1 + q +q²)

(b₁ + b₂ + b₃) · (b₇ + b₈ + b₉) = b₁²·q⁶·(1 + q +q²)²= b₁²·(q³)²·(1 + q +q²)²

Вывод: утверждение доказано

1052. Разделить 76 на 3 такие части, составляющие Г. П., чтобы сумма 1-й и 3-й части относилась ко 2-й части, как 13:6.

Решение: Рассмотрим геометрическую прогрессию: b₁ . b₂ . b₃

b₁ + b₂ + b₃= 76

(b₁ + b₃) ·6 = b₂ · 13

Значит: 76- b₂ = b₂· 13/6

b₂= 24

24/ q + 24 + 24 q =76

24 q²- 52 q +24 = 0

q =2/3

q = 3/2

Ответ: 36,24,16 или 16, 24, 36

1057. Могут ли стороны прямоугольного треугольника составлять Г.П.?

Решение: Пусть b₁ < b₂ < b₃–стороны треугольника

b₂ = b₁ q

b₃= b₁ q²

(b₁)²₊(b₂ )²= (b₁)²(1 + q²)

(b₃)²= b₁² q⁴

По теореме Пифагора имеем: q⁴ = 1 + q²

q⁴ - q² - 1 = 0

Это уравнение имеет два корня. А значит можно построить геометрическую прогрессию из трех чисел, чтобы стороны прямоугольного треугольника были им равны.

1078. В круг радиуса r вписывают квадрат; в жтот квадрат вписывают круг; в этот круг вписывают квадрат и т. д. без конца. Найдите предел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех квадратов.

Ответ: 2πr², 4r².

Задачи из учебника Н.А. Шапошникова

Учебник 1933г Н.А. Шапошников

109. Числа, выражающие длину, ширину и вышину прямоугольного параллелепипеда, образуют геометрическую прогрессию; объем параллелепипеда равен 216 м², а диагональ √364 м. Определить измерения параллелепипеда

Решение:

b₁-длина

b₁q -ширина

b₁q² –вышина

d – диагональ параллелепипеда

b₁ · b₂ · b₃= 216

b₁³q³ =216

b₁q =6

b₁²+ b₁²q²+ b₁²q⁴=364

b₁²+ 36 q²= 328

q =9 q= 1/9

b₁=2/3 b₁=54

Ответ: 54, 6, 2/3.

112. В сосуде было 1250 л 80-процентного алкоголя. Из него 3 раза брали некоторое количество жидкости и добавляли таким же количеством воды. После этого в сосуде оказалось 125 л чистого алкоголя. Какое количество жидкости брали из сосуда каждый раз?

Решение:

Последовательность С₀, С₁, С₂, С₃ представляет собой убывающую геометрическую прогрессию концентраций раствора.

Выражение С₃* V₀соответствует количеству соли после проведения n-ой процедуры.

Но эта же соль присутствовала в (V₀– х) л предыдущего раствора

в количестве С₂(V₀–х)л Составим уравнение: С₃* V₀= С₂(V₀–х)

С₃=С₀(1-х/1250)³

0,1=0,8(1-х/1250)³

0,125=(1-х/1250)³

0,5=1-х/1250

х/1250=0,5

х=625

Ответ: 625 литров

Задача из учебника Н. Извольского

Учебник 1924г. Н.Извольский

Пример 1. Сколько понадобится зерен ржи, чтобы эти зерна разложить на шахматной доске в таком порядке: на 1-ую клетку одно зерно, на 2-ую - два, на 3-тью - четыре и т. д., увеличивая всякий раз в 2 раза (имеется легенда, будто бы такую награду потребовал для себя изобретатель шахматной игры).

Ответ: воспользуемся формулой суммы п-первых членов геометрической прогрессии. Получим 2⁶⁴-1

Задачи из книги Я. Перельмана

1967г. Я. Перельман

"Яблоки"

"Покупка лошади"

"Вознаграждение воина"

Задачи из учебника Е. С. Кочеткова

Учебник 1969г Е.С.Кочетков

991. Бактерия, попав в живой организм к концу 20-й минуты делится на две; каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Найти число бактерий, образовавшихся из одной бактерии к концу суток.

Решение: Изменяющееся количество бактерий представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2.

Посчитаем, сколько раз по 20 минут содержится в сутках:

24*3=72. Значит надо найти 73-й член прогрессии.

1*2⁷² = 2⁷²

Ответ : 2⁷²

994. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если от первого числа отнять 5, от второго 4, а третье число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти заданные числа.

Решение: согласно условию составим систему.

Ответ: 17,10,3 или 8,10,12

999. В квадрат со стороной a вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.

Решение: Периметры уменьшающихся квадратов равны числам: 4а, 2√2·а, 2а, ….. знаменатель прогрессии равен √2/2 Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = 8a/(2-√2)

1021. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую Г.П., равна 65. Если от меньшего из этих чисел отнять 1, а от большего 19, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Ответ: 5, 15, 45