Из «Арифметики»
Л.Ф. Магницкого (1703г.)
Некий человек продае коня за 156 рублев;
раскаявся же, купец нача отдавати продавцу, глаголя: «Яко несть мне лепо взяти
сицевого коня, недостойного такие высокие цены. Продавец предложи ину куплю,
глаголя: «Аще те мнится велика цена сему коню бытии, убо купи гвоздие, их же
сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А
гвозди во всякой подкове по шести, и за един гвоздь даждь ми полушку, за другой
же – две полушки, а за третий – копейку, и тако все гвозди купи». Купец же,
видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии, обещал таку цену платити,
чая не больше 10 рублев за гвоздие дати. И ведательно есть: колико купец – он
проторговался?
Задача эта содержится в рукописях XVII века. Она
аналогична задаче об изобретателе игры в шахматы, который согласился за
скромное вознаграждение – именно, чтобы ему на первую клетку положили 1 зерно,
на 2-ю – 2, на 3-ю – 4 и так далее, удваивая число зерен каждый раз.
Оказывается, для выполнения этой задачи потребовался бы обильный урожай с поля,
превосходящего величиною всю сушу земного шара в 28 раз.
Решение: b₁=1/4, q=2, S₂₄=(1/4*(1-2²⁴))/1-2=2²²-0,25=4194303,75
Ответ: 4178703,75 копеек.
Старинная русская задача
Шли семь старцев,
У каждого старца по семи костылей;
На каждом костыле по семи сучков;
На каждом сучке по семи кошелей;
В каждом кошеле по семи пирогов;
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всех?
Решение: 7+7*7+7*7*7+7*7*7*7+7*7*7*7*7+7*7*7*7*7*7=137256
Аналогичная задача в египетском папирусе Ахмеса
Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка
съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных
колосков, а из зерен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна.
Сколько мер зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?
Решение: 7*7*7*7*7=7⁵=16807
По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г.
Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить
за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так
далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и
просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.
Оказывается, Магницкий не без основания снабдил
решение этой задачи предупреждением:
Хотяй туне притяжати,
От кого что принимати,
Да зрит то себе опасно…
Из старинных русских рукописей XV-XVIIIвв
Некий человек хотел шахматную доску яблоками
насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4,
на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли
на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки
продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?
Задача в книге Я.Перельмана.
Однажды незнакомец
постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в
течение 30 дней приносить тебе по 100 ООО р. А ты мне в первый день за 100 000
р. дашь 1 копейку, во второй день за 100 000 р. — 2 копейки, и так каждый день
будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна
сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче. Он
подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 р. На следующий день
пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?
Запишем геометрическую
прогрессию и найдем сумму 30 первых ее членов.
(b„): 1, 2, 4, 8,16, 32, 64,128, 256,
512, где в1= 1, q = 2, п =30.
Запишем формулу суммы п первых членов конечной геометрической прогрессии.
S30 = =230 -1 = (2s )
-1 = 1 0J3 741 932 (к.). Ответ очевиден — купец проиграл.
Задача «Покупка
лошади» в старинной «Арифметике» Магницкого
Некто продал лошадь за
156 р. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу,
говоря:
— Нет мне расчета
покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец
предложил другие условия:
— Если, по-твоему,
цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда
в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6.
За первый гвоздь дай
мне всего ¼- к., за второй 1/2 к.,за третий — 1 к. и т.д.
Покупатель,
соблазненный низкой ценой и желая получить лошадь, принял условия продавца,
рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 р.
На сколько покупатель
проторговался?
Решение. Рассмотрим геометрическую прогрессию,
где в1= ¼,
q = 2, п = 24.
Воспользуемся формулой для нахождения суммы п первых членов
геометрической прогрессии. Сумма эта равна
2-2 (224 -1)=4194
303 3/4 (к.), то есть около 42 тыс. р. При таких условиях не обидно дать и
лошадь в придачу.
Задача из учебника «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795)
«Вознаграждение воина». Служившему яну дано вознаграждение: за
первую рану 1 копейка, за другую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и т.д. По
исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 р. 35 к.
Спрашивается число его ран.
Решение. Рассмотрим геометрическую прогрессию 1; 2; 4; …, где, q = 2, Sn -
65 535. Воспользуемся формулой для нахождения суммы п первых
членов геометрической прогрессии. Составим уравнение:
При такой системе
вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы
удостоиться награды в 655 р. 35 к.
«Девичья хитрость»
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.
По вечерам золотошвея обходила дом и проверяла,
чтобы в комнатах на каждой стороне было по 7 девушек. Однажды к девушкам в
гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все
24 девушки разместились так, что вечером золотошвея насчитала в комнатах на
каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли
провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек
разместились так, что опять вечером золотошвея насчитала в комнатах с каждой
стороны дома по 7 девушек. Как размещались девушки по комнатам в двух
последующих случаях?
«Как разделить орехи?» (задача из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)
Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов.
Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза,
равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как же
разделить орехи?
Исчисление "сложных процентов"
В жизненной практике
геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении так называемых "сложных процентов”. Если
положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад
увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу,
умноженному на 1,03. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 3%, т.е. вновь
умножится на 1,03. За 20 лет сумма на сберкнижке увеличится в (1,03)20 ≈ 1,8
раза.
Старинная задача
Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но,
зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако
так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее, даже самый
начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на
весах без гирь определить фальшивую монету.
Решение: Разделить 9 монет
на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты на чашки весов. Если весы в
равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем 2 из трех монет и
кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета – третья,
если нет, то одна чашка поднимется – там фальшивая монета.
Задача Л.Н. Толстого
Некто пришел в магазин и купил шляпу, стоящую 10
руб., и дал хозяину денежный билет в 25 руб. У хозяина не было сдачи, и он
разменял у соседа и отдал ему 15 руб. Когда покупатель ушел, пришел сосед и
сказал, что 25-рублевый билет оказался фальшивым, и потребовал 25 руб. обратно.
Спрашивается, сколько рублей убытка понес при этой операции хозяин.
Решение: 10 руб. – шляпа, 15
руб. – сдача, 25 руб. – за фальшивый билет: 10+15+25 = 50 руб. – убыток. Ответ:
50 рублей.
Старинная задача
У одного старика спросили, сколько ему лет. Он
сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего
25. Как это могло быть?
Решение: Он родился в
високосный год 29 февраля.
Замысловатый ответ
Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.
Решение: Так как 25 яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц, то 30 яиц без полушки стоят пять полушек. Значит, 30 яиц стоят 6 полушек, 10 яиц стоят 2 полушки или полкопейки. Ответ: 10 яиц стоят 2 полушки или полкопейки.
Из руководства по математике «Задачи для изощрения ума юношей», Алкуин (около 735-804 гг.)
Два торговца купили за 100 сольди стадо свиней,
платили по 2 сольди за 5 свиней. Потом стадо разделили на 2 равные части и
стали продавать по той же цене, однако заработали больше, чем заплатили сами.
Как это можно сделать?
Решение: Алкуин предложил
такое решение: торговцы купили 250 свиней и разделили стадо на 2 равные части
по 125 голов. В одно стадо собрали лучших свиней и продавали по 2 свиньи за 1
сольди, из другого стада продавали по 3 свиньи за 1 сольди. В сумме получалось
по 5 свиней за 2 сольди. Торговцы вернули затраченную за покупку 100 сольди
(первый заработал 60 сольди, второй – 40 сольди), и у них осталось 10
свиней.
Из старинных рукописей.
Один человек купил 112 баранов старых и молодых,
заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и
по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько каких баранов было
куплено?
Решение: Алтын = 3 коп.,
молодой баран стоил 10 алтын или 30 копеек, старый баран 15*3+1=46(коп.),(1 полушка стоит 0,25 коп., 4 полушки=1 коп.)
Из сборников занимательных задач конца XVIII века
Имеется 21 бочонок: 7 полных, 7 полупустых и 7
пустых. Нужно поделить бочонки между тремя ларями так, чтобы каждому продавцу
досталось одинаковое число бочонков и вина, причем переливать вино нельзя. Как
это сделать? (Ларь – продавец)
Решение:
Задача из «Азбуки» Л.Н. Толстого (1828-1910 гг.), великого русского писателя, педагога, почетного члена Петербургской академии наук
Пятеро братьев разделили между собой после отца
наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их
взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим.
Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех братьев стало поровну.
Много ли стоили дома?
Решение:
Из сборников занимательных задач конца XVIII века
Ребята
пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одного такого куска занимает одну
минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной в 5 метров?
Ответ:
за 4 минуты.
Два отца и два сына
Два
отца и два сына поймали трех зайцев, а каждому досталось по одному зайцу.
Спрашивается, как это могло случиться? 22. «Косари на лугу» (из старинных
сборников задач). Было два луга: один в 6 десятин, другой в 3. На большой луг
пришла партия косарей и косила его полдня. После обеда партия разделилась
пополам: одна половина осталась на большом лугу и к вечеру докосила его, а
другая пошла на малый луг и косила его, но к вечеру не кончила. На другой день
на малый луг пришел один человек. Он косил целый день и к вечеру кончил.
Сколько человек было во всей партии косарей?
Ответ:
это были дед, отец и внук.
Игра "Камешки"
А и В играют 30 камешками.
Каждый из них поочередно должен брать до 6 камешков. Выигрывает тот, кто
возьмет последний камешек. А начинает. Как он должен играть,
чтобы выиграть наверняка?
Решение:
Большой луг косила полдня вся партия, а полдня – полпартии. Значит, до обеда
было скошено вдвое больше, чем после обеда, или до обеда 4 десятины, а после 2.
Следовательно, вторая половина партии скосила на малом лугу тоже 2 десятины, и
осталось скосить 1 десятину. Итак, всего вся партия выкосила в первый день: 6 +
2 = 8 (десятин). Оставшуюся 1 десятину на малом лугу косил один человек 1 день.
Если один человек в один день выкосил 1 десятину, то очевидно, что партия,
выкосившая в один день 8 десятин, состояла из 8 человек. Ответ: 8
человек.
Задача Пуассона
Пуассон
– великий французский математик, живший в XIX веке (1781-1840 гг.). Родители
готовили его к работе цирюльника (парикмахера). И только гений, и непреодолимое
желание решать задачи сделали Пуассона великим. Одну из задач предложил
талантливому мальчику его друг, и юный Пуассон моментально с ней справился: «В
сосуде было 12 пинт (1 пинта примерно равна 568 см3) оливкового
масла. Это масло нужно поровну продать двум покупателям. Но в лавке
оказалось только две мерные кружки: 8 пинт и 5 пинт. Как, пользуясь ими,
разделить масло поровну, то есть 6 пинт и еще 6 пинт?»
Решение: А должен
следить за тем, чтобы каждый раз дополнять общее число взятых камешков до 2, 9,
16, 23. Первый раз он возьмет 2 камешка. Если В возьмет,
например 4, то А берёт 3, так как 2 + 4 + 3 = 9 и т.д.
Старинная восточная задача
Старинная восточная задача. 2 верблюда и 8 баранов стоят 18 таньга. 5 верблюдов
и 2 барана стоят 27 таньга. Сколько стоит отдельно верблюд и баран?
Задача И. Ньютона
Эта
задача приписывается великому английскому математику Исааку Ньютону (1642-1727)
и встречается в двух старых (1821 и 1852 годов) английских сборниках в
переводе: Мне нужна ваша помощь, Чтобы посадить девять деревьев В десять рядов
так, чтобы в каждом ряду было три. Скажи, - как, и я ничего больше у тебя не
спрошу.
Решение:
Пусть х таньга стоит верблюд, у таньга – баран.
"Рыцари и оруженосцы"
«Рыцари
и оруженосцы» (из занимательных задач конца XVIII века). Три рыцаря, каждый в
сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят переправиться на
другой берег. Есть лодка, которая может вместить только двух человек. Могут ли
рыцари переправиться на другой берег при условии, что, оказавшись отдельно от
своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе двух
рыцарей?
Решение: Сначала отправляются 2 оруженосца. Возвращается один из
оруженосцев и перевозит третьего. Возвращается один из оруженосцев и остается
со своим рыцарем. Два других рыцаря отправляются к своим оруженосцам. Один из
рыцарей возвращается со своим оруженосцем, оставляет его и забирает с собой
рыцаря. Первый оруженосец переезжает обратно и забирает одного из оставшихся
оруженосцев. Рыцарь забирает своего оруженосца. Оформим это решение в форме
таблицы: обозначим буквами А, Б, В – рыцарей, а их оруженосцев соответственно
малыми буквами а, б, в.
"Четыре купца"
Четверо
купцов имеют некоторую сумму. Известно, что, сложившись без первого, они
соберут 90 рублей; сложившись без второго – 85 рублей; сложившись без третьего
– 80 рублей; сложившись без четвертого – 75 рублей. Сколько у кого денег?
Решение: 1 + 2 + 3 + 4 = 110, I = 110 – 90 = 20, II =
110 – 85 = 25, III = 110 – 80 = 30, IV = 110 – 75 = 35. Ответ: у I – 20 руб., у
II – 25 руб., у III – 30 руб., у IV – 35 руб.