История понятия «геометрическая прогрессия»

Математика – это древняя наука, которая возникла из практических нужд человека. Понятие «прогрессия» возникло и развивалось исторически из практической деятельности человека. Первые задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами проблем жития: распределение продуктов, деление наследства и др.

Дадим определение понятию.

Определение: Геометрическая прогрессия {bₙ} - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Уравнение n-го члена геометрической прогрессии : bₙ=b₁⋅qₙ-1

Формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: Sₙ=b₁*(qₙ−1)/(q−1) или Sn=b₁*(1−qₙ)/(1−q)

Для бесконечной геометрической прогреcсии, при условии |q| < 1, Sₙ=b₁/(1-q)

Период	Страна, ученые	Основные факты
II тысячелетие до н.э.	Вавилонские клинописные тексты эпохи Хаммурапи.	В древнем Вавилоне решение некоторых вопросов хозяйственного и научного характера приводило к геометрической прогрессии.                                                                     Найдена глиняная дощечка с клинописным текстом, расшифрованным одним англичанином - ассириологом. Этот текст рассказывает о том, какая часть лунного диска освещается солнцем в каждые из 15 дней от новолуния до полнолуния. Увеличение освещенной части диска в течение пяти дней подчиняется закону геометрической прогрессии с знаменателем 2, а в последующие 10 дней- закону арифметической прогрессии с разностью 16.
II тысячелетие до н.э.	Египетские папирусы	Папирус Ахмеса (Ринда) был обнаружен в 1858. В 1870 до н. э. папирус был расшифрован, переведён и издан. Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель.
VI век до н.э.	Римский автор Боэций	Термин «Прогрессия» от латинского слова «движение вперед». В математике это понятие определялось так: это всякая последовательность чисел, построенная по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.         В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.
II век до н. э.	Древний Китай	В задачах на геометрические прогрессии китайской «Математики в девяти книгах» знаменатель равен 2. Формул суммирования здесь нет. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих.
II век до н. э.	Древняя Греция	У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией: a:b = b:a, в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .
III век до н.э	Евклид, Древняя Греция	В книге «Начала» вывел формулу для вычисления суммы членов геометрической прогрессии.
I век до н.э	Архимед, Древняя Греция	В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь: 1, 2, 3, 4, 5, … 10, 102, 103, 104, 105, … и указывает на связь между ними. Например: 103·105=103+5=108, т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10. В ходе своих исследований по вычислению площади круга Архимед нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда…
Начало нашей эры	Индия	Издавна большой популярностью пользуется следующая задача легенда:  «Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не  был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 22, 23, … 263. Её сумма равна: 264-1=18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.
XIII век	Леонардо из Пизы, Италия	Еще в древности занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…  Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией. В труде Леонардо «Книга абака» в XII главе приводятся задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий.
XI век	Древняя Россия	В «Русской правде» встречаются задачи на прогрессии. Пример: «Вычислить приплод от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца ежегодно приносит одну овцу и одного барана».
XV век	Никола Шюке	В книге «Наука о числах» сопоставляется арифметическая и  геометрическая прогрессия, даётся общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии.
XVI век	Михаил Штифель, Германия	Книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика», содержит такую таблицу: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32
XVII век	Пьер Ферма, Франция	Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была выведена в первой половине XVII века несколькими математиками (среди них был французский математик Пьер Ферма)
XVIII век	Леонтий Магницкий, Россия	Значительное количество задач на прогрессии имеется в первом учебнике России «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. В течение полувека эта книга была основным учебником в России. Прогрессии в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого включены в пятую часть книги «О прогрессиях и радикалах квадратных и кубических».
XVIII век	Англия	Введены обозначения для арифметической и геометрической прогрессий.
XIX век	Франция	В соответствии с геометрической прогрессией определяются размеры типографского шрифта.

Понятие «прогрессия» возникло и исторически развивалось из практической деятельности человека, это подтверждают  задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности.  Это понятие известно так давно, что нельзя точно определить, кто его открыл. В развитие теории о прогрессиях внесли свой вклад ученые Архимед, Пифагор и его ученики, немецкие математики  М. Штифель, Н. Шюке  и  К. Гаусс.

Много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию даны в старых  учебниках по математике, в занимательных книгах по математике.

«Математика – это язык, на котором говорят все точные науки»