Арифметическая прогрессия —
это последовательность чисел (членов прогрессии),
в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего путем
добавлением к нему постоянного числа (шага,
или разности прогрессии).
Основные формулы, характеризующие арифметическую
прогрессию первого порядка:
·
· Определение арифметической прогрессии:
· Разность арифметической прогрессии:
· Общий член арифметической прогрессии:
· Сумма первых n членов арифметической прогрессии:
· Характеристическое свойство арифметической прогрессии:
Возрастающие арифметические прогрессии – это те, в которых каждое
последующее значение членов больше предыдущего.
Убывающие арифметические прогрессии – это те, в которых каждое
последующее значение членов меньше предыдущего.
Кроме того, существуют так
называемые «стационарные» последовательности — они состоят из одного и
того же повторяющегося числа. Например, {3; 3; 3; ...}.
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию.
|
Примером может служить последовательность квадратов
натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 … |
Пояснение: Разности
членов этой последовательности образуют простую арифметическую прогрессию с
разностью 2: 3, 5, 7, 9, 11, … |
|
Треугольные
числа: 1, 3, 6,
10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171… также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую
арифметическую прогрессию |
 |
|
Тетраэдральные числа : 1, 4, 10, 20,
35, 56 , 84 , 120 , 165 , 220… образуют
арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными
числами. |
Тетраэдрическое
число , или треугольное пирамидальное число , представляет собой фигурное
число , которое представляет собой пирамиду с треугольным основанием и тремя
сторонами, называемую тетраэдром. |
Аналогично можно ввести более высокие
прогрессии — третьего порядка — её разности образуют прогрессию второго
порядка, четвёртого порядка — её разности образуют прогрессию третьего порядка,
и так далее любую другую прогрессию.
В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Другие примеры построения арифметической прогрессии высших порядков и об их связи с треугольником Паскаля можно почитать на следующей странице блога.